Конус формулы объема, площади поверхности

Усеченный геометрический объект

Усеченная фигура представляет собой объект в пространстве, который состоит из двух оснований разной площади и конической боковой поверхности. В отличие от исходного конуса, его усеченный вариант не имеет вершины. Остальные линейные элементы для него такие же, как для конуса с вершиной. У усеченной фигуры также имеется две директрисы, ограничивающие каждое из оснований, и одна генератриса, которая опирается на линии направляющих кривых.

Рассматриваемый геометрический объект также бывает нескольких видов (эллиптический, наклонный). Чаще всего в задачах по геометрии встречается именно круглый прямой усеченный конус, который ограничен двумя круглыми основаниями.

Способы построения

Можно выделить два основных способа построения усеченного круглого геометрического объекта:

• из круглого прямого конуса;
• с помощью трапеции.

В первом случае необходимо взять коническую фигуру и режущую плоскость, которая будет параллельна основанию. После этого с помощью плоскости следует отсечь верхнюю часть конуса. Оставшаяся под плоскостью фигура будет усеченной

Следует отметить, что совершенно неважно, какая часть конуса с вершиной будет отсечена. Чем больше она будет, тем ближе окажутся друг к другу значения верхнего и нижнего радиусов в усеченной фигуре, то есть тем ближе она по форме будет походить на прямой цилиндр.

Если прямоугольную трапецию поставить на большее основание и вращать ее вокруг перпендикуляра h, то получится усеченный конус. В нем отрезки a и b будут радиусами оснований объемной фигуры, перпендикуляр h станет высотой, а наклонный отрезок g будет представлять собой длину образующей. Эти четыре линейных характеристики определяют рассматриваемую объемную фигуру. Следует заметить, что для однозначного построения фигуры достаточно лишь трех любых из них, например, высоты и двух радиусов.

Площадь поверхности

Поверхность усеченной фигуры, в отличие от полного конуса, образована тремя частями: два круглых основания и боковая поверхность. Площади круглых оснований вычисляются по известной формуле для круга: pi*r2. Для боковой поверхности следует выполнить следующие действия:

Разрезать ее вдоль образующей и развернуть на плоскости.
Обратить внимание, что полученная фигура представляет собой сектор круга, у которого в верхней его части вырезан другой маленький сектор.
Достроить мысленно усеченную фигуру до полного конуса и определить его высоту H и директрису G. Через соответствующие параметры усеченного конуса они будут выражаться следующим образом: G = r1*g/(r1-r2), H = h*r1/(r1-r2), здесь радиусы оснований r1 и r2 такие, что r1>r2.
Рассчитать площади большого и маленького круговых секторов, а затем вычесть из первой вторую

В итоге получится следующая простая формула: Sb = pi*g*(r1 + r2).

Площадь всей поверхности рассматриваемой фигуры вычисляется как сумма трех величин S1, S2 и Sb:

S = S1 + S2 + Sb = pi*r12 + pi*r22 + pi*g*(r1 + r2).

Для определения величины S необходимо знать три линейных параметра усеченного конуса: радиусы оснований и длину генератрисы.

Формула объема

Для определения объема следует воспользоваться приемами, подобными тем, которые описаны в методике определения площади поверхности. Для начала следует усеченный конус достроить до полного, затем вычислить объемы фигур с высотами H и H-h по уже известной формуле. Разница этих объемов даст искомую формулу для усеченной фигуры с круглыми основаниями:

V = 1/3*pi*r12*H — 1/3*pi*r22*(H-h).

Подставляя в это выражение равенство для высоты H через линейные характеристики усеченной фигуры, можно получить конечную формулу:

V = 1/3*pi*h*(r12 + r22 + r1*r2).

Это выражение можно переписать не через линейные параметры, а через площади оснований фигуры S1 и S2:

V = 1/3*h*(S1 + S2 + (S1*S2)^0,5).

Записанная формула объема может быть получена универсальным способом без привлечения известного выражения для полного конуса. Для этого необходимо использовать интегральное исчисление, разбивая при этом усеченный геометрический объект на бесконечное количество тонких круглых дисков. Их радиусы будут постепенно уменьшаться от r1 до r2. Этот метод вывода формулы для объема не отличается от аналогичного для полного круглого конуса, изменяются лишь пределы интегрирования.

Размеры и допуски углов наружных и внутренних конусов

* Размер для справок.

** Z — базорасстояние конуса задает­ся в стандартах на конкретную про­дукцию

1 — основная плоскость; 2 — базовая плоскость

Обозначенияконусов	D	d	Lрасч	Допуск угла, мкм, конуса ATDпо ГОСТ 8908
3	4	5	6	7
30	31,75	17,750	48	2,5	4	6	10	15
35	38,10	21,767	56	2,5	4	6	10	15
40	44,45	25,492	65	3,0	5	8	12	20
45	57,15	32,942	83	3,0	5	8	12	20
50	69,85	40,100	102	4,0	6	10	16	25
55	88,90	54,858	127	4,0	6	10	16	25
60	107,95	60,700	162	5,0	8	12	20	30
65	133,35	74,433	202	5,0	8	12	20	30
70	165,10	92,183	250	6,0	10	16	25	40
75	203,20	113,658	307	6,0	10	16	25	40
80	254,00	138,208	394	8,0	12	20	30	50

Условное обозначение конусов по ГОСТ 15945 с добавлением степени точности конуса:

Конус 50 АТ5 ГОСТ 15945-82

Предельные отклонения базорасстояния конуса Z следует выбирать из ряда: ± 0,4; ± 0,2; ± 0,1; ± 0,05мм.

Продолжение табл. 10

Образующая конуса

Теперь можно переходить к ответу на вопрос о том, как найти образующую конуса круглого прямого. Выше было сказано, что она представляет собой отрезок, который лежит на конической поверхности и соединяет вершину с точкой окружности основания. В прямоугольном треугольнике, из которого был конус получен, образующая является гипотенузой. Это наблюдение позволяет записать известную теорему Пифагора, связав образующую g с радиусом r и высотой h фигуры. Формула, как найти образующую конуса, имеет вид:

g = √(r2 + h2)

Помимо этой формулы, на практике вместо высоты или радиуса фигуры может быть известен угол φ между образующей и основанием. В этом случае генератрису g можно рассчитать с помощью следующих выражений:

g = h/sin(φ);

g = r/cos(φ)

Эти формулы следуют из свойств тригонометрических функций синуса и косинуса.

Таким образом, вычисление образующей конуса возможно, если знать любые два параметра фигуры.

Бумажный петушок из конуса

Прекрасное создание из цветной бумаги порадует не только малышей, но и взрослых. При изготовлении такой поделки могут участвовать и самые маленькие умельцы, им необходимо немного подсказать и помочь. Сделать петушка достаточно просто. Для этого необходимо иметь в доме:

1	цветную бумагу
2	картон
3	карандаш
4	циркуль
5	клей
6	линейку
7	фломастеры
8	ножницы

Изготавливается сказочный петушок таким образом:

1. Берется картон, укладывается на горизонтальную поверхность, на нем вычерчивается циркулем круг, который впоследствии вырезается ножницами.
2. Заготовка складывается строго пополам и разрезается.
3. Полученный полукруг сворачивается в виде конуса.
4. Шов склеивается и хорошо просушивается.
5. Из цветной бумаги вырезается небольшая деталь и из нее делается клювик.
6. Клюв приклеивается к основанию фигуры.
7. К верхушке заготовки приклеивается вырезанная тонкая полоска.
8. Если эту же полосочку приклеить в нескольких местах, то получится интересный гребешок.
9. Из цветной бумаги вырезать фигурки в виде капелек и приклеить их к основанию конуса пониже клюва. Это будет бородка петушка.
10. Нарезать полоски разных цветов в количестве 5 штук.
11. Так же, как и гребешок, приклеить их к конусу по бокам. Получатся крылья птички.
12. Из таких же полосок изготовить хвостик, который можно немножко закрутить при помощи ножниц.

Сказочный петушок готов!

Таким же образом можно создать и других сказочных животных, например ослика, коровку, кролика, собачку, бегемотика и многих других сказочных персонажей, насколько хватит фантазии и усидчивости.

Площадь боковой поверхности конуса через его радиус и высоту

Очень часто в задачах на вычисление площади боковой поверхности конуса известна высота конуса вместо его направляющей.Так как конус прямой, то треугольник AOS – прямоугольный, где AO и OS – катеты, а AS –гипотенуза. Воспользовавшись теоремой Пифагора, получаем: Отсюда: Но Тогда:Подставим данное выражение в формулу площади боковой поверхности конуса: Боковая поверхность конуса равна произведению числа на радиус конуса и корень квадратный из суммы квадратов радиуса и высоты конуса

Пример расчета площади боковой поверхности конуса, если известны его радиус и высота.Найти площадь боковой поверхности конуса с радиусом равным 1 см и высотой, равной 5 смПо условию задачи Н = 5см, R=1смФормула боковой поверхности конуса:Подставив в формулу значения из условия задачи, имеем:

Для чего используется конус

Мы подробно разобрали самые простые варианты как сделать правильный конус из бумаги. Для чего используется эта поделка? Направления у нее самые различные:

• геометрических выставок;
• объемных поделок;
• изготовления маскарадных шляп.

Ваша фантазия подскажет вам, где еще может применяться конус. А мы поможем вам вдохновиться с помощью простой конусной поделки елочки.

Ёлка из конуса

Для нее потребуется:

• картон;
• бумага для подарков;
• скотч;
• декоративные предметы;
• ножницы.

В основе изделия, как вы уже поняли, лежит конус. Изготовьте его по одной из предложенных выше инструкций.

Далее работаем по схеме:

1. Полученный конус, оборачиваем бумагой для подарков. Крепим кончик материала к верхушке скотчем и аккуратно оборачиваем бумагу по фигуре. Отрезаем лишний материал.
2. Крепим концы с помощью скотча.
3. Вы не поверите, но елочка готова. Осталось ее украсить как настоящую. С этой целью могут подойти пуговицы, большие бусины и миниатюрные новогодние игрушки.

В ёлке можно сделать отверстия. И если она достаточно широка, поместите внутрь конуса новогодние огоньки. В темноте, они будут приятно мелькать, создавая приятную атмосферу.

Уравнение прямого кругового конуса

Уравнения, задающие боковую поверхность прямого кругового конуса с углом раствора 2Θ, вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью Oz:

В сферической системе координат с координатами (r, φ, θ):

θ=Θ.{\displaystyle \theta =\Theta .}

В цилиндрической системе координат с координатами (r, φ, z):

z=r⋅ctg⁡Θ{\displaystyle z=r\cdot \operatorname {ctg} \Theta } или r=z⋅tg⁡Θ.{\displaystyle r=z\cdot \operatorname {tg} \Theta .}

В декартовой системе координат с координатами (x, y, z):

z=±x2+y2⋅ctg⁡Θ.{\displaystyle z=\pm {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\cdot \operatorname {ctg} \Theta .}

Это уравнение в каноническом виде записывается как

x2a2+y2a2−z2c2=,{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0,}

где константы a, с определяются пропорцией ca=cos⁡Θsin⁡Θ.{\displaystyle c/a=\cos \Theta /\sin \Theta .} Отсюда видно, что боковая поверхность прямого кругового конуса представляет собой поверхность второго порядка (она носит название коническая поверхность). В общем виде коническая поверхность второго порядка опирается на эллипс; в подходящей декартовой координатной системе (оси Ох и Оу параллельны осям эллипса, вершина конуса совпадает с началом координат, центр эллипса лежит на оси Oz) её уравнение имеет вид

x2a2+y2b2−z2c2=,{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0,}

причём a/c и b/c равны полуосям эллипса. В наиболее общем случае, когда конус опирается на произвольную плоскую поверхность, можно показать, что уравнение боковой поверхности конуса (с вершиной в начале координат) задаётся уравнением f(x,y,z)=,{\displaystyle f(x,y,z)=0,} где функция f(x,y,z){\displaystyle f(x,y,z)} является однородной, то есть удовлетворяющей условию f(αx,αy,αz)=αnf(x,y,z){\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=\alpha ^{n}f(x,y,z)} для любого действительного числа α.

Как построить развертку поверхности прямого усеченного конуса

Делим основание конуса на 12 равных частей (вписываем правильную пирамиду). Данные элементы построения уже готовы из чертежа «Сечение конуса плоскостью частного положения».

Строим развертку боковой поверхности конуса, которая представляет собой круговой сектор. Центр его радиуса принимается за вершину конуса, а величина радиуса кругового сектора конуса равна длине образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса. На дугу сектора переносим 12 хорд, которые определят ее длину, а также угол кругового сектора.

К центральной точке дуги сектора боковой развертки усеченного конуса пристраиваем основание конуса. Его основание проецируется в натуральную величину на горизонтальную плоскость проекции.

На развертке конуса к его основанию пристраиваем натуральную величину сечения.

Две крайние образующие конуса, которые формируют его основной контур, проецируются на фронтальную плоскость проекции в натуральную величину, поэтому их можно сразу переносить на развертку боковой поверхности конуса. Так как часть его срезана фронтально проецирующей плоскостью, то перенесем на развертку конуса только крайнюю правую усеченную образующую. Остальные усеченные образующие конуса проецируются на фронтальную плоскость проекций с искажением. Их натуральную величину находят способом вращения вокруг оси конуса до положения, параллельного фронтальной плоскости проекций.

Сам принцип нахождения натуральных величин образующих усеченного конуса сводится к тому, что проводят из точек пересечения образующих с плоскостью горизонтальную прямую до крайней правой (левой) образующей и на ней отмеряют натуральные их величины. Все действия проводят на фронтальной плоскости проекции.

На каждой образующей, лежащей на развертке боковой поверхности конуса, откладываем действительные длины усеченных образующих. Полученные точки соединяем плавной кривой линией команда Сплайн в Автокад.

Мы выполнили задачу начертательной геометрии на построение развертки усеченного конуса, но чтобы не возникло проблем во время ее защиты (когда я обучался, каждая курсовая по начертательной геометрии защищалась), еще раз рассмотрим принцип вращения для нахождения натуральной величины усеченной образующей конуса.

«Их натуральную величину находят способом вращения вокруг оси конуса до положения, параллельного фронтальной плоскости проекций.» Когда мы вращаем образующую прямого конуса до положения параллельного фронтальной плоскости проекции, то ее траектория описывает дугу на горизонтальной плоскости проекции, а на фронтальной прямую!

Вы можете не проводить линии связи с горизонтальной плоскости проекции на фронтальную, ведь очевидно, что точка будет лежать на крайней основной образующей контура конуса для каждой образующей при нахождении ее натуральной величины. Поэтому сам принцип вращения по нахождению натуральной величины образующих конуса сводится к проведению из точек усеченных образующих горизонтальной прямой до основной образующей контура конуса.

В видеоуроке очень наглядно и подробно показан принцип построения развертки прямого усеченного конуса.

HSK, КМ [ править | править код ]

HSK

-конус (от нем. Hohlschaftkegel или англ. Hollow Shaft Taper , полый конус) используется во фрезерных обрабатывающих центрах и особенно в токарно-фрезерных центрах. Стандарты на эти конуса ISO 12164, DIN 69893, ГОСТ Р ИСО 12164. Конусность 1:10.

Имеет несколько конструктивных разновидностей фланцев, обозначаемых буквами A, B, C, D, E, F

. Размер конуса обозначается цифрой наибольшего диаметра фланца в мм (от 25 до 160). Например, HSK-A63. Следует учесть, что диаметр фланца и размер конуса могут не совпадать у разных конструктивов, например, HSK-A50 и HSK-В63 имеют одинаковый конус, а HSK-A63 и HSK-В63 — разный.

Главные достоинства HSK-соединения: автоматическая быстрая смена инструмента (что очень важно в обрабатывающих центрах с ЧПУ), небольшой вес, возможность устанавливать в шпиндель токарные резцы, хорошая повторяемость, жесткость. Как правило, стандартные резцы квадратного сечения устанавливаются в специальную промежуточную оправку, которая, в свою очередь, имеет конус HSK

Но иногда также используются резцы, имеющие хвостовик HSK.

KM

— конус, разработанный компанией Kennametal. По сути сходен с HSK, но не получил массового распространения. Конструкция КМ не запатентована.

Дед Мороз из конуса бумаги своими руками

Стоит отметить, что множество разнообразных поделок можно изготовить с использованием бумажного конуса. Они более привлекательны, индивидуальны, неординарны, всегда восхищают и поднимают настроение. Это не только поможет в Новый год сделать атмосферу сказочной, но и подарит множество неизгладимых впечатлений маленьким деткам.

Для начала работ нужно иметь в наличии такие приспособления:

• бумагу белую и красную;
• клей ПВА или канцелярский хорошего качества;
• вату;
• карандаши;
• циркуль;
• ножницы;
• линейку.

Этапы создания Деда Мороза следующие:

1. Берем красную бумагу и вычерчиваем на ней круг с диаметром в 20 сантиметров.
2. Вырезаем круг и складываем пополам.
3. По сгибу разрезаем.
4. Из полученного полукруга формируем конус.
5. Тщательно склеиваем края.
6. Берем белую бумагу и вычерчиваем на ней круг диаметром в 4 сантиметра.
7. Маленький круг вырезается и наклеивается к основному конусу чуть ниже острия. Он будет служить лицом Деда Мороза. На нем рисуются глазки, носик и ротик.
8. Из бумаги красного цвета вырезаем детали для рук Деда Мороза. Они приклеиваются по бокам большого конуса.
9. На острие конуса прикрепить кусок ваты – это будет помпон на шапке. Можно таким же образом сделать и волосы из-под шапки.
10. На маленьком круге из ваты (можно использовать и просто бумагу) изобразить усы и бороду.

Укороченные конусы Морзе

В процессе развития станкостроения появились станки, в которых размеры патронов под инструмент оказались меньше длины стандартных конусов Морзе, что создавало большие проблемы с подбором инструмента и установкой его в станок. Для таких станков был разработан отдельный вид укороченных конусов Морзе.

Главной особенностью таких конусов является то, что при сохраненном большем диаметре и конусности, длина хвостовика была уменьшена. При этом, укороченные конусы, благодаря сохранению своей формы, ни в чем не уступают стандартным. Они позволяют так же надежно закреплять инструмент и так же быстро производить его замену.

Ниже приведены основные размеры укороченных конусов Морзе:

Наименование конуса	N конуса Морзе	D, мм	D1, мм	d1, мм	amax, мм	L, мм	M	l1, мм
B7	7,067	7,2	6,5	3,0	11,0	—
B10	1	10,094	10,3	9,4	3,5	14,5	—
B12	12,065	12,2	11,1	18,5	М6	16,0
B16	2	15,733	16,0	14,5	5,0	24,0	—
B18	17,780	18,0	16,2	32,0	М10	24,0
B22	3	21,793	22,0	19,8	40,5	—
B24	23,825	24,1	21,3	50,5	М12	28,0
B32	4	31,267	31,6	28,6	6,5	51,0	М16	32,0
B45	5	44,399	44,7	41,0	64,5	М20	40,0

Появление такой конструкции хвостовика, как конус Морзе, не было грандиозным прорывом в машиностроении. Оно стало следующей ступенью в эволюционном развитии производства. Конус Морзе заслуженно занимает важную нишу в истории машиностроения, и по сей день, коническая форма хвостовика является ярким примером простого, но надежного конструкторского решения.

Рейтинг: /5 —
голосов

Инструкция изготовления простого конуса

Сделать конус в основе которого лежит бумага очень просто. На всю работу уходит до пяти минут. Достаточно перед работой изготовить верный чертеж и свернуть материал правильным образом.

Простой конус схема

Для первой работы потребуется:

• лист А4;
• циркуль с вставленным карандашом;
• длинная линейка
• ножницы;
• степлер или клей.

Как сделать конус из бумаги пошагово:

1. Берем бумагу. Определяем центр листа. Отмечаем место.
2. В отмеченную точку ставим острие циркуля и чертим круг. Вырезаем нарисованную фигуру. На полученной заготовке от края к уже установленному центру проводим линию. Делаем по этой линии разрез.
3. Из сделанного круга с разрезом, сворачиваем воронку. Скрепляем края фигуры с помощью степлера или клея.

Конус готов. Готовую фигуру можно использовать для разнообразных поделок. А если добавить к нашей фигуре шар, то получится поделка для выставки на геометрическую тематику.

Примеры задач

Задание 1Вычислите площадь боковой поверхности конуса, если известно, что его радиус равен 16 см, а длина образующей – 5 см.

Решение:Используем соответствующую формулу с известными нам величинами:S = 3,14 ⋅ 16 см ⋅ 5 см = 251,2 см2.

Задание 2Высота конуса равна 4 см, а его радиус – 3 см. Найдите суммарную площадь поверхности фигуры.

Решение:Если рассмотреть конус в сечении, то можно заметить, что его высота, радиус и образующая представляют собой прямоугольный треугольник. Следовательно, воспользовавшись теоремой Пифагора, можно найти длину образующей (является гипотенузой):l2 = (4 см)2 + (3 см)2 = 25 см2.l = 5 см.

Осталось только использовать найденное и известные по условиям задачи значения, чтобы рассчитать площадь:S = 3,14 ⋅ 3 см ⋅ (5 см + 3 см) = 75,36 см2.

Объем пирамиды

Для начала рассмотрим треугольную пирамиду. Вершину пирамиды примем за начало координат точку О, а ось Ох проведем перпендикулярно основанию, причем ось будет направлена от вершины пирамиды к основанию.

Пусть ось Ох пересечет основание АВС в точке М. Тогда ОМ – это высота, чью длину мы обозначим как h.

Далее построим сечение А₁В₁С₁, параллельное АВС. Это сечение пересечется с ОМ в точке ОМ₁. Тогда ОМ₁ – это координата х, характеризующая расположение сечения А₁В₁С₁.

Осталось составить выражение для площади ∆А₁В₁С₁. Так как АВ||A₁B₁, то ∠АВО и ∠А₁В₁О одинаковы как соответственные углы. Тогда у ∆АВО и ∆А₁В₁О есть два равных угла (ведь ∠АОВ у них общий), а потому эти треугольники подобны по первому признаку подобия. Это означает, что

Надо как-то найти значение коэффициента k, который, очевидно, как-то зависит от переменной х. Рассмотрим теперь ∆ОМВ и ∆ОМ₁В₁. Они прямоугольные, ведь ОМ перпендикулярен плоскостям этих треугольников. Также у них есть общий угол ∠ОВМ. Значит, они подобны, и поэтому

Итак, если пирамида имеет высоту h и площадь основания S, то объем пирамиды равен:

Выведенная нами формула справедлива для треугольной пирамиды. Однако если в основании пирамиды лежит произвольный многоугольник, то, разбив этот многоугольник на треугольники, мы разобьем и пирамиду на несколько треугольных пирамид. У них будет общая высота h и площади оснований S₁, S₂, S₃…, которые в сумме составляют площадь многоугольника S.

Объем треугольных пирамид рассчитывается по выведенной нами формуле:

Задание. В основании пирамиды высотой 15 лежит квадрат со стороной 4. Вычислите ее объем.

Решение. Сначала находим площадь основания. Для этого надо сторону квадрата умножить саму на себя:

Задание. В кубе АВСDA₁В₁С₁D₁ отмечены точки Е и F – середины ребер ВС и CD соответственно. Во сколько раз объем пирамиды С₁EFC меньше объема куба?

Решение. Обозначим длину ребра куба буквой а. Тогда его объем рассчитывается так:

Задание. Отрезок MN перпендикулярен плоскости пятиугольника АВСDE. Точка K, принадлежащая этой плоскости, делит отрезок MN в отношении 2:1. Во сколько раз объем пирамиды MABCDE больше объема пирамиды NABCDE?

Решение. Запишем формулы для объемов этих пирамид. При этом учтем, что MK – высота для MABCDE, а NK – это высота для NABCDE.

Далее рассмотрим такую фигуру, как усеченная пирамида. Ясно, что ее объем можно вычислить, если из объема исходной пирамиды вычесть объем отсеченной верхушки.

Снова рассмотрим пирамиду ОАВС, через которую проведено сечение А₁В₁С₁, параллельное основанию.

Обозначим площадь нижнего основания пирамиды как S₂, а площадь верхнего основания – как S₁. Далее высоту усеченной пирамиды (отрезок ММ₁) обозначим как h. Мы уже выяснили ранее, что основания АВС и А₁В₁С₁ – это подобные треугольники, причем коэффициент их подобия k равен отношению высот ОМ и ОМ₁. Тогда можно записать:

Далее используем основное свойство пропорции:

Далее числитель дроби мы раскладываем на множители, используя формулу разности кубов:

Задание. Основаниями усеченной пирамиды являются квадраты со сторонами 9 см и 5 см, а высота пирамиды составляет 6 см. Найдите ее объем.

Сначала вычислим площади оснований:

Генератриса усеченной фигуры

Итак, мы познакомились с усеченным конусом, а также с понятием о его образующей. Как находить образующую конуса усеченного? Для того чтобы получить нужную формулу, заметим, если высоту h перенести параллельно самой себе к боковой поверхности конуса так, чтобы она касалась одним концом образующей фигуры, то получится прямоугольный треугольник. Его сторонами будут высота h (катет), генератриса g (гипотенуза) и r1-r2 (катет). Тогда можно записать формулу для определения g:

g = √((r1 – r2)2 + h2)

Соответственно, если дан острый угол φ1 между большим основанием и генератрисой, тогда последнюю можно определить так:

g = h/sin(φ1);

g = (r1 – r2)/cos(φ1)

Если же известен тупой угол φ2 между малым основанием и генератрисой, тогда для ее вычисления необходимо применять такие выражения:

g = h/sin(φ2);

g = (r2 – r1)/cos(φ2)

Здесь первая формула является точно такой же, как для угла φ1, а во второй формуле радиусы в числителе поменялись местами.

Таким образом, найти образующую конуса усеченного можно, если знать любые три его параметра.

Как сделать конус из круга

Сделать конус из бумаги достаточно просто. Нужно только все делать правильно и аккуратно, предвещая уникальный положительный результат. Поэтапная инструкция заключается в следующем:

1. Определяется, для чего вы изготавливаете бумажный конус. От этого будут зависеть его размеры, плотность бумаги, цветовая гамма, а также наличие всяких декоративных элементов.
2. Берем бумагу нужного размера и раскладываем ее на горизонтальной поверхности. Для этого подойдет кухонный стол, тумбочка или журнальный столик. Как кому удобно.
3. Используя линейку, отмечается точка в середине листа.
4. В эту точку выставляется острие циркуля и предварительно очерчивается контуры круга пунктиром. При этом отмечается, не заходит ли грифель за пределы листа бумаги. Если все в порядке, проводится четкая линия.
5. Четко по линии ножницами вырезается круг.
6. Далее надо соединить линейкой центр круга с любой точкой окружности и провести линию карандашом.
7. При помощи ножниц аккуратно разрезать круг по этой линии точно до центра.
8. Разрезанный круг сворачивается в конус до такого размера, который вам необходим. Края подравниваются и закрепляются посредством скрепки.
9. На края разрезанных кромок с внутренней и внешней стороны наносится клей, и стенки плотно фиксируются.
10. Приступаем к изготовлению основания конуса. Для этого берется еще один лист бумаги и выкладывается на столе.
11. Изготовленный конус кладется на линейку. Так определяется его диаметр. От этого результата отнимается 2 миллиметра и показатель делится пополам. Это предполагаемый радиус конуса.
12. На чистом листе установленного радиуса прочерчивается карандашом круг. Он считается внутренним.
13. Затем из того же центра вычерчиваем новый круг, диаметр которого на 2-3 сантиметра превышает предыдущий.
14. Вырезаем круг по внешнему контуру.
15. Промежуток между внутренним и наружным кругом соединяем насечками, которые делаются с использованием ножниц. Желательно эту процедуру делать аккуратно, чтобы не выйти за пределы внутренней окружности. Расстояние между насечками должно составлять около сантиметра.
16. Изготовленные насечки заворачиваются в одну сторону. Должен получиться небольшой нахлест.
17. Внешнюю часть насечек покрываем клеем и аккуратно вставляем внутрь самого конуса.
18. Готовое изделие оставляем на столе и даем возможность ему тщательно высохнуть.